一阶低通滤波器
前言
在电机控制中，许多物理量都需要经过 A/D 转换，由模拟量变成数字量后，才能输入数字控制器。对于这些数字信号，一方面需要尽可能保留物理量的真实低频分量，另一方面需要滤除采样噪声、开关纹波等高频干扰，因此经常使用一阶低通数字滤波器。
例如，在滑模观测器中，需要对估计得到的扩展反电动势进行低通滤波，详见 无感控制之滑模观测器 | 子默的小屋。
因此，有必要了解一阶低通滤波器的基本原理、截止频率、离散化方法及其相位特性。
一阶 RC 低通滤波电路
一阶低通数字滤波器对应的物理电路模型是一阶 RC 低通滤波电路，电路如下图所示。
该电路的频率响应为：
其中：
为滤波器的时间常数，截止角频率为：
对应的截止频率为：
由式（1）可得一阶低通滤波器的幅频特性和相频特性：
当输入信号频率等于截止频率时：
换算为分贝为：
因此，
根据式（2）可以绘制一阶 RC 低通滤波器的 Bode 图，如下图所示。
由 Bode 图可以看出：
- 当
时，信号幅值基本不衰减，相位滞后接近 ； - 当
时，幅值衰减约为 ，相位滞后为 ； - 当
时，幅频曲线以约 的斜率下降，相位滞后逐渐接近 。
一阶低通滤波器的连续模型
一阶 RC 低通滤波器的连续域传递函数为：
在零初始条件下，有：
对应的时域微分方程为：
由于：
所以可以将微分方程写为：
下面分别使用前向欧拉法、后向欧拉法和梯形法对式（4）进行离散化。
前向欧拉法离散化
前向欧拉法使用第
整理得：
定义前向欧拉系数：
则式（5）可以写为：
将下标整体向后移动一位，可得适合程序实现的差分方程：
可以看到，前向欧拉法使用上一采样时刻的输入
前向欧拉法的
在零初始条件下，对式（7）进行
因此：
对应的滤波器系数为：
在 Simulink 的 Discrete Filter 模块中，可以设置为：
1 | Numerator = [0 alpha_F] |
前向欧拉法得到的离散极点为：
为了保证稳定，需要满足：
即：
如果希望输出无振荡地单调收敛，一般还应满足：
后向欧拉法离散化
后向欧拉法使用第
整理得：
因此：
定义后向欧拉系数：
由于：
所以式（9）可以写成：
将下标整体向后移动一位，得到：
后向欧拉法使用当前输入
在数字控制器中，第
后向欧拉法的
在零初始条件下，对式（11）进行
因此：
对应的滤波器系数为：
在 Simulink 的 Discrete Filter 模块中，可以设置为：
1 | Numerator = [alpha_B] |
后向欧拉法得到的离散极点为：
当 (_c>0) 且 (T_s>0) 时，有：
因此，后向欧拉法离散得到的一阶低通滤波器始终稳定。
梯形法离散化
梯形法同时使用前后两个采样时刻的微分值，并取两者的平均值：
根据式（4）：
代入可得：
整理得：
定义梯形法系数：
则有：
因此，梯形法的差分方程可以写为：
梯形法也称为双线性变换法或 Tustin 法。
梯形法的
对式（14）进行
因此：
对应的滤波器系数为：
在 Simulink 的 Discrete Filter 模块中，可以设置为：
1 | Numerator = [alpha_T alpha_T] |
梯形法得到的离散极点为：
连续系统左半平面的稳定极点经过双线性变换后，会映射到离散系统单位圆内部，因此梯形法可以保持连续系统的稳定性。
三种离散化方法对比
三种离散化方法可以总结如下：
| 离散方法 | 系数定义 | 差分方程 |
|---|---|---|
| 前向欧拉 | ||
| 后向欧拉 | ||
| 梯形法 |
对应的 Simulink Discrete Filter 参数为：
| 离散方法 | Numerator | Denominator |
|---|---|---|
| 前向欧拉 | [0 alpha_F] |
[1 -(1-alpha_F)] |
| 后向欧拉 | [alpha_B] |
[1 -(1-alpha_B)] |
| 梯形法 | [alpha_T alpha_T] |
[1 -(1-2*alpha_T)] |
一般来说：
- 前向欧拉法结构简单，但稳定性受到采样周期限制，并且包含一拍输入延迟；
- 后向欧拉法稳定性较好，但会引入一定的数值阻尼；
- 梯形法可以更准确地保持连续滤波器的频率特性，通常适合控制系统中的数字滤波器设计。
一阶低通滤波器为什么属于 IIR
前向欧拉、后向欧拉和梯形法得到的差分方程中都含有上一时刻的输出 (y[k-1])。
数字滤波器的一般差分方程为：
只要输出依赖过去的输出，就存在递归反馈。单位脉冲输入产生的响应会不断衰减，但理论上不会在有限采样点后严格变为零，因此称为无限冲激响应滤波器，即 IIR（Infinite Impulse Response）滤波器。
如果滤波器只使用当前和过去的输入，而不使用过去的输出：
则称为有限冲激响应滤波器，即 FIR（Finite Impulse Response）滤波器。
一阶 RC 低通滤波器包含一个极点和递归状态，因此其常见数字离散形式属于 IIR 滤波器。
相位滞后与相位补偿
由一阶低通滤波器的相频特性可知，对于角频率为 () 的正弦信号，滤波器产生的相位滞后为：
需要注意，相位角和时间延迟并不是同一个物理量。
如果希望将相位角换算成该频率下的等效时间延迟，则有：
因此，不能将 ((/_c)) 直接称为时间延迟，它表示的是相位滞后角。
相位补偿并不是所有一阶低通滤波器都必须加入，而应根据被滤波信号及后续算法决定。
对于直流信号：
因此：
理想稳态直流量不会产生幅值衰减和相位滞后，因此不需要相位补偿。
但是，当被滤波信号随时间变化时，它仍然包含一定的低频动态分量。这些动态分量会受到低通滤波器的幅值衰减和相位滞后影响。
例如，在滑模观测器中，低通滤波后的扩展反电动势仍然是一个以电角频率旋转的正弦量。其相位滞后会直接转化为估计转子位置角的误差，因此通常需要根据运行频率进行相位补偿，详见 无感控制之滑模观测器 | 子默的小屋。
而对于同步解调后提取的稳态直流幅值，通常不需要进行固定相角补偿。但如果该直流幅值实际上是随控制对象状态变化的低频包络，则仍需在闭环设计中考虑滤波器带来的动态滞后。